Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT 2019 môn Toán (ngày thi thứ nhất)

Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT 2019 môn Toán

Dưới đây là nội dung đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT 2019 môn Toán ngày thi thứ nhất (VMO ngày 1), kỳ thi được tổ chức vào Chủ Nhật, ngày 13 tháng 01 năm 2019. Đề thi gồm 01 trang với 04 bài toán tự luận, thí sinh có 180 phút để làm bài thi.

Trích dẫn đề thi:

1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn nội tiếp I. Trên các tia AB, AC, BC, BA ,CA ,CB lần lượt lấy các điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 sao cho AA1 = AA2 = BC, BB1 = BB2 = CA, CC1 = CC2 = AB. Các cặp đường thẳng (B1B2, C1C2), (C1C2, A1A2), (A1A2, B1B2) lần lượt có các giao điểm là A’, B’, C’.
a) Chứng minh rằng diện tích tam giác A’B’C’ không vượt quá diện tích tam giác ABC.
b) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Các đường thẳng AJ, BJ, CJ lần lượt cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại R, S, T tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AST, BTR, CRS cùng đi qua một điểm K. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không cần thì IHJK là hình bình hành.

2. Cho hàm số liên tục f: R → (0;+∞) thỏa mãn lim f(x) = lim f(x) = 0.
Chứng minh rằng f(x) đạt giá trị lớn nhất trên R. Chứng minh rằng tôn tại hai dãy (xn), (yn) với xn