Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD ĐT Tiền Giang

Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Tiền Giang

Bài thi chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 của sở GD&ĐT Tiền Giang bao gồm 02 bài thi với tổng cộng 07 bài toán tự luận. Kỳ thi đã diễn ra vào các ngày 13 và 14 tháng 10 năm 2020.

Bài toán 1: Cho a, b, c là các số nguyên với a khác 0 sao cho an^2 + bn + c là số chính phương với mọi số nguyên dương n. Cần chứng minh rằng tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn a = x^2, b = 2xy, c = y^2.

Bài toán 2: Giả sử có 3 lớp học, mỗi lớp có n học sinh và chiều cao của các học sinh đôi một khác nhau. Phải chia 3n học sinh thành n nhóm, mỗi nhóm gồm 3 học sinh từ 3 lớp khác nhau sao cho người cao nhất trong mỗi nhóm được gọi là “người mẫu”. Yêu cầu chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của n là 40.

Bài toán 3: Đường tròn (w1) và (w2) có cùng bán kính và cắt nhau tại hai điểm phân biệt X1, X2. Đường tròn (w) tiếp xúc ngoài với (w1) tại T1 và tiếp xúc trong với (w2) tại T2. Cần chứng minh rằng đoạn thẳng X1T1 cắt đoạn thẳng X2T2 tại một điểm trên (w).