-
Đề HSG Toán 12
Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh Yên Bái năm 2022-2023
Chúng tôi xin giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn lọc học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT năm học 2022-2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Yên Bái. Kỳ thi sẽ diễn ra vào ngày 29 tháng 09 năm 2022. Dưới đây là một số câu hỏi trong đề thi:
1. Cho hàm số ( y = frac{2x + 3}{x + 3} ) có đồ thị (C) và đường thẳng ( d: y = -2x + m ) (với ( m ) là tham số thực). Chứng minh rằng ( d ) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi tham số thực ( m ). Gọi ( k_1 ) và ( k_2 ) lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm tất cả các giá trị của ( m ) để ( P = (k_1)^{2022} + (k_2)^{2022} ) đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Cho đa giác (H) có 20 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Chọn bốn đỉnh tùy ý của (H). Tính xác suất để chọn được bốn đỉnh tạo thành một tứ giác lồi có bốn cạnh là đường chéo của (H).
3. Cho hình chóp ( S.ABCD ) có đáy ( ABCD ) là hình vuông cạnh bằng ( a ). Hai mặt phẳng ( (SAB) ) và ( (SAC) ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa ( SC ) và mặt phẳng ( (SAB) ) bằng 30°. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh ( BC ), ( CD ) sao cho ( BM = 2MC ) và ( CN = 2ND ).
a) Tính thể tích khối chóp ( S.ABCD ).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( DM ) và ( SN ).
