Đề tuyển sinh môn Toán năm 2020 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội (vòng 2)

Đề tuyển sinh môn Toán năm 2020 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội (vòng 2)

Thứ Hai ngày 13 tháng 07 năm 2020, trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tổ chức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm học 2020 – 2021. Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2020 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội (vòng 2) là bước quyết định quan trọng cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán.

Đề thi gồm 4 bài toán tự luận trên 01 trang với thời gian làm bài 150 phút. Một trong những bài toán đặc biệt khó khăn và cần sự khéo léo của thí sinh là:

1. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho cả ba số 4a^2 + 5b, 4b^2 + 5c, 4c^2 + 5a đều là bình phương của số nguyên dương.

2. Chứng minh rằng nếu ta xây dựng bộ số mới từ một bộ bốn số thực (a, b, c, d) theo quy tắc cho trước và liên tiếp xây dựng các bộ số mới, nếu ở hai thời điểm khác nhau ta thu được cùng một bộ số (có thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng (a, -a, a, -a).

3. Trong bài toán về tam giác cân và đường tròn nội tiếp, thí sinh cần chứng minh các mệnh đề sau:
– Chứng minh bốn điểm A, E, P, F cùng thuộc một đường tròn.
– Chứng minh LA vuông góc với LE.
– Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AST và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc với nhau.

Đây là những bài toán đòi hỏi sự suy luận logic và kiến thức chuyên sâu từ thí sinh, đồng thời đánh giá khả năng giải quyết vấn đề của họ.