-
Đề HSG Toán 12
Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2)
Ngày thi: Thứ Tư ngày 23 tháng 09 năm 2020
Địa điểm: sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Lắk
Kỳ thi để chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán
Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2) bao gồm 04 bài toán và thời gian làm bài là 180 phút.
Bài 1:
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho đa thức $f_n(x) = x^{2n+2} – 2(a_1 + a_2 + ldots + a_n)^2 cdot x^{n+1} + (a_1^4 + a_2^4 + ldots + a_n^4 + 1)$ có ít nhất một nghiệm nguyên.
Bài 2:
Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho $frac{a + b^3}{a^2 + 3ab + 3b^2 – 1}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $a^2 + 3ab + 3b^2 – 1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.
Bài 3:
Cho tam giác ABC, đường tròn (O) cắt cạnh BC tại hai điểm D, E; cắt cạnh CA tại F, G; cắt cạnh AB tại H, I. Gọi M là giao điểm của DF và EI, N là giao điểm của EG và FH, P là giao điểm của GI và HD. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BN và CP đồng quy.
