-
Đề HSG Toán 12
Đề thi HSG lớp 12 môn Toán THPT chuyên năm học 2019-2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Ngày …/10/2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 12 chương trình THPT chuyên năm học 2019-2020. Đề thi HSG Toán lớp 12 THPT chuyên năm học 2019-2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc có cấu trúc dạng đề tự luận với 05 bài toán, thời gian làm bài 180 phút, đề thi gồm có 01 trang, có lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm.
Trích dẫn đề thi HSG Toán lớp 12 THPT chuyên năm học 2019-2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc:
– Bài toán 1: Trong tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn (A) có tâm A bán kính AE cắt đoạn thẳng AH tại điểm K. Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại P. Các đường thẳng DK và PK cắt đường tròn (A) lần lượt tại Q và T khác K. Yêu cầu: a) Chứng minh rằng tứ giác TDPQ nội tiếp và ba điểm Q, A, P thẳng hàng. b) Chứng minh rằng ba đường thẳng AX, EF, TI đồng quy. c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AP tiếp xúc với đường tròn (I).
– Bài toán 2: Cho P(x) là một đa thức khác hằng số với hệ số thực sao cho tất cả các nghiệm của nó đều là số thực. Giả sử tồn tại một đa thức Q(x) với hệ số thực sao cho (P(x))^2 = P(Q(x)) với mọi x thuộc R. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức P(x) đều bằng nhau.
– Bài toán 3: Một tập hợp gồm 3 số nguyên dương được gọi là tập Pytago nếu 3 số này là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với hai tập Pytago P, Q bất kỳ, ta luôn tìm được m tập Pytago P1, P2 … Pm (m ≥ 2) sao cho P1 = P, Pm = Q và Pi giao Pi+1 khác rỗng với mọi 1 ≤ i ≤ m-1.
