-
Đề HSG Toán 12
Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2021 môn Toán sở GD&ĐT Đồng Tháp
Ngày 28 tháng 07 năm 2020, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Tháp đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán dự thi cấp Quốc gia năm 2021. Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2021 môn Toán sở GD&ĐT Đồng Tháp bao gồm 02 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài 180 phút.
Trích dẫn đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2021 môn Toán sở GD&ĐT Đồng Tháp:
+ Bài 1: Xét số (T = 3^n – 2^n), trong đó (n) là số nguyên dương, (n geq 2). Chứng minh rằng:
a) Không tồn tại (n) để (T) là bình phương của một số nguyên tố.
b) Nếu (T) là lập phương của một số nguyên tố thì (n) là một số nguyên tố.
+ Bài 2: Với mỗi (m) thuộc (N^*) ta kí hiệu: (a(2m) = (m!)^2), (a(2m + 1) = (m!) cdot ((m + 1)!) ). Cho đa thức (p(x)) hệ số nguyên, có bậc lớn hơn hoặc bằng (k) ( (k in N^*) ) và có ít nhất (k) nghiệm nguyên phân biệt. Xét số nguyên (n) ((n neq 0)) sao cho đa thức (q(x) = p(x) – n) có ít nhất một nghiệm nguyên. Chứng minh rằng (|n| geq a(k)).
+ Bài 3: Cho tam giác (ABC), đường tròn nội tiếp ((I)) tiếp xúc với các cạnh (BC), (CA), (AB) tại (D), (E), (F).
1. Gọi (S) là giao điểm của (EF) với (BC). Chứng minh (SI) vuông góc với (AD).
2. Đường thẳng (d) thay đổi, đi qua (S) và cắt đường tròn ((I)) tại hai điểm phân biệt (M), (N). Các tiếp tuyến tại (M), (N) của ((I)) cắt nhau tại (T). Chứng minh (T) thuộc một đường thẳng cố định.
3. Gọi (K) là giao điểm của (ME) và (NF), (G) là giao điểm của (MC) và (NB). Chứng minh (K) và (G) cùng thuộc đường thẳng (AD).
