-
Đề HSG Toán 12
Đề chọn đội tuyển Toán năm 2022-2023 trường Phổ thông Năng khiếu TP HCM
Sytu xin gửi đến quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2022-2023 trường Phổ thông Năng khiếu, thành phố Hồ Chí Minh. Kỳ thi sẽ diễn ra vào thứ Ba, ngày 27 tháng 09 năm 2022.
Dưới đây là một số câu hỏi trích dẫn từ Đề chọn đội tuyển Toán năm 2022-2023 trường Phổ thông Năng khiếu TP HCM:
1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn x > y > 2 và x^y – x = y^x – y.
2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có B, C cố định (BC không đi qua O), A là điểm thay đổi trên cung lớn BC. Gọi I, M, N là trung điểm của BC, CA và AB. Đường tròn qua M, tiếp xúc BC tại B và đường tròn qua N, tiếp xúc BC tại C lần lượt cắt IM và IN tại E và F. Gọi D là giao điểm của BE, CF.
a) Chứng minh AD đi qua một điểm cố định.
b) Gọi K là giao điểm của AD với EF. Chứng minh K thuộc một đường tròn cố định.
3. Với n nguyên dương, một tập hợp B = {b1, b2 … bn} gồm các số nguyên dương được gọi là “tốt” nếu tồn tại n tập hợp C1, C2 … Cn thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
Với mọi i thuộc {1, 2 … n}, các tập hợp Ci gồm bi số nguyên liên tiếp.
Với mọi i thuộc {1, 2 … n}, nếu đặt ai là tổng tất cả các phần tử của Ci thì a1 + a2 + … + an = 0.
a) Chứng minh rằng nếu B chứa ít nhất một số lẻ thì B là tập hợp tốt.
b) Hỏi có bao nhiêu tập con khác rỗng của {1, 2 … 100} là tập tốt?
