-
Đề HSG Toán 12
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT TP Hồ Chí Minh
Chào các thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12. Đây là đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 của năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh tổ chức. Kỳ thi sẽ diễn ra vào ngày 07 tháng 03 năm 2023.
Đề thi gồm các câu hỏi sau:
1. Với m là tham số thực, xét các phương trình:
[
begin{cases}
log_2{x} + log_{2023}{x} = m &(1) \
log_3{y} + log_3{y} = m &(2)
end{cases}
]
a) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương.
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm 1/x và 2/x; và phương trình (2) có hai nghiệm 1/y và 2/y; đồng thời, nếu xét các điểm A(x, y) = (1, 1) và B(x, y) = (2, 2) trong hệ trục tọa độ Oxy thì tam giác OAB vuông tại O.
2. Cho hàm số f(x) = 4x^3 + 2x^2 + 2x có đồ thị (C). Tìm tất cả các điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khác M và độ dài MA và MB bằng 3.
3. Xét hàm số f(x) = frac{3x^3}{2x^2 + 2023} và gọi S là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 28. Chọn ngẫu nhiên hai số a, b thuộc S với a ≠ b. Tính xác suất để hàm số f(x) đồng biến trên khoảng a, b.
