-
Đề HSG Toán 12
Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hòa Bình
Sytu xin gửi đến quý thầy cô và các em học sinh đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo UBND tỉnh Hòa Bình. Kỳ thi sẽ được diễn ra vào ngày 29 tháng 08 năm 2023. Dưới đây là một số câu hỏi trong đề thi:
1. Cho dãy số ( a_n ) xác định bởi ( a_1 = 2 ) và ( a_{n+1} ).
a) Chứng minh rằng dãy số ( a_n ) là dãy số tăng.
b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt ( b_n ). Chứng minh rằng dãy số ( b_n ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Điểm P bất kỳ nằm trong tam giác ABC sao cho AP vuông góc BC. Hạ PE vuông góc AB, PF vuông góc AC (E thuộc AB, F thuộc AC). Gọi L là giao điểm của BF và CE, Q là giao điểm của AL và BC và X là giao điểm của EF và BC.
a) Chứng minh rằng đường tròn (QEF) luôn đi qua một điểm cố định.
b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh rằng KL vuông góc AX.
3. Cho tập hợp X = {1, 2, …, 49}. Tô màu ít nhất 24 phần tử của X với điều kiện sau: nếu a, b thuộc X (không nhất thiết phân biệt) được tô màu thì a + b cũng được tô màu, miễn là a + b thuộc X. Gọi S là tổng tất cả các phần tử không được tô màu của tập X.
a) Chứng minh rằng ( S leq 625 ).
b) Chỉ ra tất cả các cách tô màu sao cho ( S = 625 ).
Chúc quý thầy cô và các em học sinh ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
