-
Đề HSG Toán 11
Đề thi HSG Toán lớp 11 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH ĐB Bắc Bộ
Ngày 20 tháng 04 năm 2019, cụm các trường THPT chuyên khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ đã tổ chức kỳ thi giao lưu học sinh giỏi Toán lớp 11 lần thứ 12 trong năm học 2018 – 2019. Đề thi Toán lớp 11 năm 2019 của cụm trường THPT chuyên DH ĐB Bắc Bộ bao gồm 5 bài toán tự luận, có lời giải chi tiết và thang điểm.
Trích dẫn đề thi HSG Toán lớp 11 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH ĐB Bắc Bộ:
+ Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng qua A song song BC cắt DE, DF tại M, N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn (I) tại L (L khác D). Hãy chứng minh rằng A, K, L thẳng hàng. Tiếp tuyến tại M, N với đường tròn ngoại tiếp DMN cắt EF tại U, V. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.
+ Bài toán 2: Cho đa giác lồi n đỉnh A0A1 … An-1 (n ≥ 2). Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác được tô bởi một trong k màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ cùng một đỉnh và cùng màu. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của k.
+ Bài toán 3: Cho p là số nguyên tố dạng 12k + 11. Tập con S của tập M = {1; 2; 3 … p – 2; p – 1} gọi là “tốt” nếu tích của tất cả các phần tử trong S không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử trong MS. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia ΔS cho p, với ΔS là tích của hai tập con tốt chứa đúng (p – 1)/2 phần tử.