Chùm bài toán tiếp tuyến cát tuyến ôn thi vào môn Toán

Bài toán tiếp tuyến – cát tuyến trong môn Toán

Chùm bài toán tiếp tuyến – cát tuyến là tài liệu được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Chí Thành, gồm 44 trang, tập hợp 114 bài toán ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Trong đó, đề cập đến các dạng toán phổ biến trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán.

Một trong các bài toán trong tài liệu này là: Cho O là tâm của đường tròn (R), điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn có dây BC vuông góc với OM tại H. Từ M kẻ cát tuyến MD (tia MD nằm giữa tia MB và MO) gọi D1 là trung điểm của DD, OD cắt BC tại D2. Ta cần chứng minh các điểm O, C, M, B, D1 cùng nằm trên một đường tròn và các điểm M, H, D, D1, D2 cùng nằm trên một đường tròn. Đồng thời, các điểm O, C, M, B, D cách đều trung điểm của OM và các đỉnh C, B, D nhìn MO dưới một góc vuông.

Bằng cách sử dụng tính chất của trung tuyến trong tam giác vuông, ta có thể chứng minh các điều kiện trên và áp dụng cho các bài toán tương tự. Bài toán cũng có thể được thay đổi thành việc chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác HD D hoặc D OD luôn đi qua một điểm cố định hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp HD D luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

Qua đó, ta thấy rằng tứ giác OHDD là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra các đường tròn ngoại tiếp tam giác HD D sẽ đi qua điểm cố định O và đường tròn ngoại tiếp tam giác OD D sẽ đi qua điểm cố định H. Tâm đường tròn ngoại tiếp HD D cũng nằm trên đường trung trực của đoạn OH.